Übung » Mathematik

:

Die Vektorrechnung

 

1.     Einleitung

2.     Berechnen eines Vektors

3.     Vektoren im Raum

4.     Kontrollfragen

 

1. Einleitung

Wenn man zwei Punkte (A ; B) in einem Koordinatensystem betrachtet und überlegt, wie man diese mit der kürzesten Strecke verbinden kann, ist die richtige Lösung immer eine Gerade zwischen den beiden Punkten. Nun beschreibt man noch die Richtung, in der man die Gerade gezogen hat, mit einer Pfeilspitze und erhält somit einen Vektor. Damit sind die zwei definierenden Eigenschaften eines Vektors beschrieben:

  1. Er hat immer eine Länge. Diese wird in der Mathematik „Betrag“ genannt.
  2. Er hat immer eine Richtung.

Ein Vektor beschreibt demnach, wie der Punkt A verschoben werden muss, um zum Punkt B verändert zu werden. Man kann einen Vektor auch beliebig verschieben, ohne ihn dabei zu verändern. Obwohl sich der Anfangs- und Endpunkt verändert, bleibt der Vektor gleich, weil seine Länge und seine Richtung gleich bleiben.

Abb. 1: Verschiebung eines Vektors

 

Es sind also immer zwei Angaben notwendig, damit ein Vektor genau definiert ist. Diese Eigenschaft unterscheidet den Vektor von einem Skalar. Ein Skalar ist eine mathematische Größe, die immer durch eine absolute Zahl ausgedrückt wird. Beispiele hierfür sind die Temperatur oder die Masse. Beispiele für Vektoren sind die Beschleunigung oder die Geschwindigkeit.

Beschriftet werden Vektoren meistens durch einen Kleinbuchstaben. Über diesem befindet sich ein waagerechter Pfeil (\vec{a}) , bei anderen gängigen Schreibweisen ist er entweder fettgedruckt (a) oder unterstrichen (a). Man kann den Vektor auch durch die verbundenen Punkte ausdrücken, indem man einen Pfeil über beide Buchstaben schreibt (\overrightarrow{AB}) .

 

Abb. 2: Ein Vektor in der Ebene

2. Berechnen eines Vektors

Um einen Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, nutzt man die jeweiligen Koordinaten der beiden Punkte. Damit das Rechnen leichter fällt, schreibt man die Koordinaten in Spalten übereinander \binom{x}{y} . Anschließend muss man die Koordinaten von Punkt B minus die Koordinaten von Punkt A rechnen und erhält dann den Vektor \vec{c} .

\binom{x_B}{y_B}-\binom{x_A}{y_A} = \vec{c} = \binom{4}{3} - \binom{1}{1} = \binom{3}{2}

Die Koordinaten des Vektors (3/2) nennt man auch Komponenten. Diese kann man in einer Zeile als Zeilenvektor (3 2) oder in einer Spalte als Spaltenvektor \binom{3}{2} darstellen. Mathematisch handelt es sich dabei aber um denselben Vektor. Da es zum Rechnen oft einfacher und übersichtlicher ist, nutzen wir die Spaltenvektoren.

Punkte: A (1/1); B (4/3); \vec{c}=\binom{3}{2}

Buchstabenschreibweise Zeilenschreibweise Spaltenschreibweise
\overrightarrow{AB} (3 2) \binom{3}{2}

 

3. Vektoren im Raum

Man kann Vektoren auch in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, auch Z-Koordinatensystem genannt, darstellen. Der Vektor stellt immer noch einen Pfeil zwischen zwei Punkten dar, jedoch haben diese jeweils drei Koordinaten (x/y/z).  Daher muss man bei der Berechnung dieses Vektors auch alle drei Koordinaten berücksichtigen.

Abb. 3: Ein Vektor im Raum

                     

 

Je nach Anzahl der Komponenten werden die Vektoren als zwei- oder dreikomponentige Vektoren bezeichnet.  Theoretisch kann ein Vektor beliebig viele Komponenten haben. Wir betrachten aber nur die zwei- und dreikomponentigen Vektoren, weil auch nur diese im MedAT vorkommen.


Kontrollfragen:


1

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren sind richtig?

Ein Dreikomponenten Vektor hat ein x-, y- und z- Komponente, und lässt sich so in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, also einem dreidimensionalen Raum, darstellen.

2

Wie viele Angaben bezüglich eines Vektors sind mindestens nötig, um ihn eindeutig zu definieren?

Ein Vektor hat immer eine Richtung und eine Länge, die in der Mathematik Betrag genannt wird. Wenn diese beiden Angaben gegeben sind, ist der Vektor eindeutig.

3

Wie lautet der Vektor, der den Punkt D (3,5/ 5 /1) so verschiebt, dass er sich zum Punkt E (2/ 3 /1) verändert?

Um den Vektor von einem Punkt zum anderen auszurechnen, muss man die jeweiligen Koordinaten voneinander abziehen:

4

Der Vektor (2 | 5 | 0) wird 3 Einheiten in Richtung der x-Achse, 2 in Richtung der Y-Achse und eine Einheit auf der z-Achse verschoben. Wie heißen seine neuen Komponenten?

Wenn man einen Vektor verschiebt, verändern sich nie seine Komponenten, er bleibt der gleiche Vektor.