Zehnerpotenzen
Die mathematischen Präfixe sind im internationalen System „Système International d´unités“ festgelegt. Es wird verkürzt als SI-System bezeichnet.
Präfixe werden verwendet, um sehr große oder sehr kleine Zahlen in einfacher Schreibweise darzustellen. Aus Verwechslungsgründen sind Zeiteinheiten wie Minuten, Stunden oder Tage von dieser Darstellung ausgenommen.
SI-Präfixe sind definierte Dezimal-Präfixe. Sie basieren auf Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten und haben definierte Symbole, welche in folgender Tabelle aufgelistet sind:
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Symbol
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Name
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Wert
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Y
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Yotta
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(103)8 = 1024
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1.000.000.000.000.000.000.000.000
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Z
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Zetta
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(103)7 = 1021
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1.000.000.000.000.000.000.000
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E
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Exa
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(103)6 = 1018
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1.000.000.000.000.000.000
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P
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Peta
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(103)5 = 1015
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1.000.000.000.000.000
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T
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Tera
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(103)4 = 1012
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1.000.000.000.000
|
|
G
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Giga
|
(103)3 = 109
|
1.000.000.000
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M
|
Mega
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(103)2 = 106
|
1.000.000
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k
|
Kilo
|
(103)1 = 103
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1.000
|
|
h
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Hekto
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102
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100
|
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da
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Deka
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101
|
10
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-
|
-
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100
|
1
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d
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Dezi
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10-1
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0,1
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|
c
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Zenti
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10-2
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0,01
|
|
m
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Milli
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(10-3)1 = 10-3
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0,001
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|
μ
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Mikro
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(10-3)2 = 10-6
|
0,000.001
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|
n
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Nano
|
(10-3)3 = 10-9
|
0,000.000.001
|
|
p
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Piko
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(10-3)4 = 10-12
|
0,000.000.000.001
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|
f
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Femto
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(10-3)5 = 10-15
|
0,000.000.000.000.001
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a
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Atto
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(10-3)6 = 10-18
|
0,000.000.000.000.000.001
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|
z
|
Zepto
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(10-3)7 = 10-21
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0,000.000.000.000.000.000.001
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y
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Yokto
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(10-3)8 = 10-24
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0,000.000.000.000.000.000.000.001
|
Um einen sicheren Umgang mit dem SI-System zu beherrschen, sind folgende Rechenregeln zu beachten:
\(\begin{align*} a^x \ast a^y = a^{x+y} \end{align*}\)
\( \begin{align*} \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \end{align*} \)
\( \begin{align*} a^{-x} = \frac{1}{a^x} \end{align*} \)
\( \begin{align*} (a^x)^y = a^{x \ast y} \end{align*} \)
\( \begin{align*} a^0 = 1 \end{align*} \)
Merke: Addieren und subtrahieren darfst du Zehnerpotenzen nur, wenn der Exponent gleich ist: 3 · 104 + 2 · 104 = 5 · 104. Bei ungleichen Exponenten musst du zuerst eine der beiden Zahlen umschreiben.
Die wissenschaftliche Schreibweise
In der wissenschaftlichen (normierten) Schreibweise steht vor dem Komma immer genau eine Ziffer ungleich null. Die Zahl hat also die Form a · 10n mit 1 ≤ a < 10.
Beispiel: 4.500.000 = 4,5 · 106 und 0,00072 = 7,2 · 10-4.
Merke: Verschiebst du das Komma nach links, wird der Exponent größer; verschiebst du es nach rechts, wird er kleiner. Der Wert der Zahl bleibt dabei unverändert.
Überschlagsrechnen
Im Test hast du in Mathematik nicht einmal eine Minute pro Frage und keinen Taschenrechner. Deshalb lohnt es sich, zuerst die Zehnerpotenzen zusammenzuzählen und erst danach die Vorfaktoren grob zu multiplizieren.
Beispiel: (3,1 · 105) · (2,9 · 10-8). Die Exponenten ergeben 5 + (−8) = −3, die Vorfaktoren rund 3 · 3 = 9. Das Ergebnis liegt also bei etwa 9 · 10-3. In aller Regel genügt das schon, um die richtige Antwort zu erkennen.
Beispiel:
Um große Zahlen darzustellen, bedient man sich der Übersichtlichkeit halber hoher Zehnerpotenzen. Die Masse der Erde beträgt 5,972 * 1024 kg. Nach der Rechenregel
\( \begin{align*} a^x \ast a^y = a^{x+y} \end{align*} \)
und dem Wissen, dass 1 kg = 1000 g = 103 g sind, beträgt also die Masse der Erde 5,972 * 1024+3 g = 5 ,972 * 1027 g.
Um eine sehr kleine Zahl darzustellen, werden negative Zehnerpotenzen genutzt. Der Durchmesser eines Thrombozyten beträgt etwa 0,000002 m. Nach dem Konvertieren in eine Zehnerpotenz beträgt die Länge 2 m / 106. Nach
\( \begin{align*} a^{-x} = \frac{1}{a^x} \end{align*} \)
sind dies 2 * 10-6 m, also genau jene Zehnerpotenz, welche man als Mikro bezeichnet: 0,000002 m = 2 µm.
