Die richtige Lösungsstrategie

Im letzten Skript haben wir uns einige Beispiele von einfachen Zahlenfolgen angeschaut. Das ist auch immer der erste Schritt bei deiner Bearbeitung. Wie sollst du aber vorgehen, wenn sich bei den Rechenoperationen keine Wiederholung feststellen lässt? Genau das schauen wir uns jetzt gemeinsam an. In diesem Fall solltest du zunächst immer darauf achten, ob in der Zahlenfolge Sprünge vorkommen. Dabei handelt es sich immer um eine Zahlenreihe bei der die Rechenoperation nicht zwischen den beiden aufeinanderfolgenden Zahlen stattfinden sondern z.B. zwischen der ersten und dritten, zweiten und vierten Zahl usw. Wenn du sich wiederholende Rechenschritte dieser Art erkennst, dann hast du die Regel wiederum gefunden und musst nur die gesuchten Zahlen berechnen:

Beispiel 1

Beginnen wir zunächst mit einem Zweiersprung. Wenn du nämlich keinen Zusammenhang zwischen den nebenstehenden Zahlen findest, solltest du dir immer zunächst das Verhältnis von der 1. und 3. sowie der 2. und 4. Zahl (usw.) anschauen, da ein Zweiersprung leichter zu erkennen ist als ein Dreiersprung oder Vierersprung. Solltest du zwischen diesen Zahlen auch keinen Zusammenhang finden, einen Zweiersprung also ausschließen können, dann schaust du dir an, ob ein Dreiersprung vorliegt, usw.

Hier siehst du das erste Beispiel.

Schaue es dir erst einmal an und falls dir schon etwas auffällt, zeichne diese Rechenoperationen direkt ein. Falls nicht, gehst du Schritt für Schritt vor und schreibst die Rechenoperationen zwischen den Zahlen auf. Wie das aussieht, siehst du hier:

Bei der hier gezeigten Zahlenreihe lässt sich schnell erkennen, dass sich diese Zahlenfolge nicht durch einfache Regeln, wie in dem zuvor gezeigten Beispiel lösen lässt, da sich Additionen und Subtraktionen nicht wiederholen und weder Divisionen noch Multiplikationen zwischen den aufeinanderfolgenden Zahlen möglich sind. Also solltest du nun versuchen nach sich wiederholenden Rechenoperationen zwischen der 1. und 3. sowie 2. und 4. Zahl zu suchen. 

In unserem Beispiel siehst du schnell, dass 400 dividiert durch 2, 200 ergibt. 440 dividiert durch 2 ergibt wiederum 220 und 200 dividiert durch 2 ergibt 100, usw. Also liegt die Rechenoperation „dividiert durch 2“ vor, wobei immer eine Zahl übersprungen wird. Das ist also ein zugegeben sehr einfaches Beispiel eines 2er Sprungs. Beim MedAT ist es jedoch sehr unwahrscheinlich, dass dir eine so einfache Folge begegnen wird. Wenn du diese Zahlenfolge aber nochmal betrachtest und dir die Rechenoperationen anschaust, die zwischen den benachbarten Zahlen stehen, wirst du vielleicht merken, dass diese Zahlen gar nicht so zusammenhanglos sind. Wenn wir nämlich eine Ebene höher gehen, erkennen wir auch hier eine Regel. Damit das etwas anschaulicher wird, hier die Rechenschritte eingezeichnet:

Das bedeutet, es ist hier auch möglich auf einer höheren Ebene durch 2 zu teilen, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. Du siehst vermutlich auch, dass dieser Weg deutlich komplizierter ist, auf die richtige Lösung kommst du aber trotzdem. Wir zeigen dir diese Variante für eine wichtige Erkenntnis, die wir dir jetzt klarmachen wollen.

Merke: Es ist durchaus möglich, dass verschiedene Rechenwege zur Lösung führen, d.h. dass du mehrere Möglichkeiten hast zu rechnen. Es gibt aber IMMER nur EINE richtige Lösung, egal wie du rechnest. Es kommen also keine Folgen vor, wo verschiedene Lösungen möglich sind.

Beispiel 2

Bleiben wir nochmal beim Zweiersprung und schauen uns ein anderes Beispiel an. Versuche auch hier systematisch an das Beispiel heranzugehen, trotzdem du weißt, dass ein Zweiersprung vorliegt.

Zuerst solltest du die Zahlenfolge wie immer überfliegen und schauen, ob du direkt Muster erkennen kannst. Hier wären zum Beispiel die Zahlen 5, 20 und 80 auffällig, die vielleicht zusammenhängen könnten. Sollte dir das auffallen, dann betrachte diese Zahlen zuerst, schreibe Rechenoperationen auf und schaue dir dann die übrigen Zahlen an. Dann wärst du auch direkt beim Zweiersprung angekommen und kommst vermutlich auch recht schnell auf die Lösung. Sollte dir aber nicht direkt ein Zusammenhang ins Auge springen, gehst du vor wie immer und schreibst die Rechenoperationen zwischen allen Zahlen Schritt für Schritt auf. 

Expert:innen-Tipp: Wenn du Rechenoperationen wie hier siehst, bei welchen ausschließlich Addition mit einer einzelnen Subtraktion vorkommen oder umgekehrt, dann kann das ein Hinweis auf Sprünge sein. 

Hier lässt sich jetzt kein Zusammenhang erkennen, also ist der nächste Schritt wieder, nach Sprüngen zu schauen, zuerst wieder nach einem Zweiersprung.

Hier sehen wir dann recht schnell eine Kombination aus einer Multiplikation mit 4 und einer Addition. Dabei müssen wir noch eine zusätzliche Rechnung vornehmen, also noch eine Ebene höher gehen und immer +3 rechnen.

Beispiel 3

Jetzt wenden wir uns einem Dreiersprung zu. Diese Sprünge sind deutlich schwerer zu erkennen, wenn du aber nach System danach suchst, wird dir auch das gelingen.

Merke: Beim MedAT kamen in den letzten Jahren häufig Dreiersprünge vor!

Schaue dir auch hier die Zahlenfolge an und überlege, ob dir etwas ins Auge sticht. Wenn nein, dann schreibe wie immer die Rechenoperationen Schritt für Schritt auf.

Hier sehen wir, dass zunächst kein wirklicher Zusammenhang erkennbar ist. Zur Übersicht haben wir hier auch noch + bzw. - eingetragen, damit du siehst wo die Zahlen steigen bzw. sinken. Eventuell wird dadurch ein Schema ersichtlich und du kannst direkt auf weitere Zusammenhänge schließen. 

Da wir hier nicht weiter kommen, schauen wir uns an ob ein Zweiersprung vorliegt. 

Auch hier kommen wir nicht wirklich weiter. In Gedanken solltest du hier dann auch noch eine Ebene höher gehen, ob dir dann ein Zusammenhang auffällt. Wenn das nicht der Fall ist, dann suchst du nach einem Dreiersprung.

Expert:innen-Tipp: Beim Dreiersprung ist es wichtig, konzentriert zu arbeiten und die Rechenschritte auch wirklich aufzuschreiben. Wenn du hier nur einige Rechenschritte einzeichnest, fällt dir der Zusammenhang vielleicht nicht auf.

Hier siehst du den Dreiersprung, mit der Abwechslung von Addition und Multiplikation, außerdem immer der Erhöhung von + 2 bei jedem Rechenschritt.

Beispiel 4

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel von einem Dreiersprung an:

Expert:innen-Tipp: Hier möchten wir auf einige Besonderheiten eingehen, die dir direkt beim Überfliegen auffallen sollten. Wenn du wie hier zwei identische Zahlen nebeneinander siehst, dann kann das ein Hinweis auf einen Sprung sein, da die Wahrscheinlichkeit, dass in der Mitte der Zahlenfolge einmal + 0 zu rechnen ist ziemlich gering ist. Auch der Wechsel von + und - zwischen den Rechenoperationen deutet eher auf einen Sprung hin, da hier kein Zusammenhang zu erkennen ist. Die Antwortmöglichkeiten deuten ebenfalls auf einen Sprung hin, da die 8. Zahl deutlich niedriger ist als die 9. Zahl. Wenn dir so etwas auffällt, kannst du auch direkt nach einem Sprung suchen und nur wenn du zu keinem Ergebnis kommst, wendest du die Lösungsstrategie Schritt für Schritt an. 

Sinn macht es, dann zuerst wie immer nach einem Zweiersprung zu suchen. 

Hier sehen wir keinen wirklichen Zusammenhang, weshalb wir nach einem Dreiersprung suchen:

Beispiel 5

Wenden wir uns noch einem Vierersprung zu. Dieser ist sehr schwer zu erkennen und kam beim MedAT bisher nicht vor. Theoretisch ist es jedoch möglich, dass der Vierersprung in zukünftigen MedATs gefragt wird, da dies von den Testhersteller:innen nicht ausgeschlossen wird.

Wende hier selbständig alle Schritte an, die uns zur richtigen Lösung bringen. Also überfliege die Zahlenfolge, wenn dir nichts auffällt schreibst du die Schritte zwischen den benachbarten Zahlen auf und dann suchst du nach Sprüngen. Wie der Vierersprung aussieht, siehst du in folgender Abbildung:

Beispiel 6

Zum Abschluss werfen wir einen Blick auf Zahlenfolgen mit unregelmäßigen Sprüngen. Diese stellen vermutlich die anspruchsvollste Art von Zahlenfolgen dar. Während wir bisher stets nach einem festen Muster vorgingen – entweder direkt mit der vorherigen Zahl arbeiteten oder regelmäßig zwei bzw. drei Zahlen übersprangen – variiert die Sprungweite hier. In unregelmäßigen Abständen werden keine, eine oder zwei Zahlen übersprungen.

Betrachten wir dazu ein konkretes Beispiel:

Wenn du alle Schritte wie zuvor beschrieben durchlaufen hast und bereits nach Zweier- und Dreiersprüngen gesucht hast, wird dir mit etwas Übung folgendes Muster auffallen:
In der oberen Reihe erkennst du einen Dreiersprung mit +2. Zwischen den übrigen Zahlen gibt es jedoch keinen weiteren Dreiersprung. Stattdessen wechseln sich kein Sprung und ein Zweiersprung mit -5 ab. Wenn du diese Reihe fortsetzt, erhältst du das Ergebnis 5/0.

Beispiel 7

Diese Art von Zahlenfolgen kann noch anspruchsvoller gestaltet werden, indem in einer oder beiden Reihen zusätzlich eine weitere Rechenart versteckt wird. Auch hierzu ein Beispiel:

Auch hier handelt es sich um eine Kombination aus einem Dreiersprung in der oberen Reihe und keinem oder einem Zweiersprung in der unteren Reihe. Allerdings müssen wir diesmal eine zusätzliche Rechnung durchführen und eine Ebene weiterdenken. In der oberen Reihe wird dabei stets +2 addiert, während in der unteren Reihe -2 subtrahiert wird. Berechnest du auf diese Weise die fehlenden zwei Zahlen, erhältst du das Ergebnis 22/10.

Expert:innen-Tipp: Wie bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um die Königsdisziplin der Zahlenfolgen. Lass dich daher nicht entmutigen, falls dir diese Aufgabe aktuell noch kompliziert erscheint. Mit etwas Übung werden dir auch diese Beispiele leichter fallen. Einige davon liegen möglicherweise sogar über dem MedAT-Niveau. Dennoch ist es, wie beim Vierersprung, durchaus möglich, dass eine solche Zahlenfolge im MedAT vorkommt.

Zusammenfassung

Sprünge sind zu Beginn nicht leicht zu erkennen, aber mit etwas Übung wirst du auch Dreiersprünge und sogar Vierersprünge erkennen können. Gerade Dreiersprünge solltest du gut beherrschen, da diese beim MedAT gerne gefragt werden. Solltest du auch keinen Sprung finden, gehe weiter systematisch vor und prüfe ob eine rekursive Folge vorliegt. Mehr dazu findest du im nächsten Skript.